Hoe test je op randomness?

Chi-kwadraat toets

Binnen de wiskunde zijn er verschillende toetsen waarmee gekeken wordt of gevonden uitkomsten niet te veel afwijken van wat je gemiddeld zou verwachten. De chi-kwadraat toets is zo een toets.

Met deze toets bepaal je een maat voor hoeveel je gevonden uitkomsten afwijken van het gemiddelde. Deze vergelijk je vervolgens met een vooraf bepaalde waarde die jij nog net accepteert als waarde die door het toeval bepaald kan zijn. Is de gevonden waarde hoger, dan neem je aan dat jouw uitkomsten niet volledig door het toeval zijn bepaald.

Is de gevonden waarde lager, dan accepteer je dat de gevonden uitkomsten door het toeval bepaald zijn. Dit heet dus Randomness.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld waarbij 54 keer met een dobbelsteen is gegooid. De uitkomsten zien er als volgt uit:

Ogen 1 2 3 4 5 6
Aantal 10 8 17 5 8 6

Gemiddeld zou elke uitkomst negen keer voor moeten komen, dus we vinden dat nummer drie wel erg vaak gevallen is en vragen ons af of deze dobbelsteen wel eerlijk is. Om te testen of deze uitkomsten door een eerlijke dobbelsteen gegenereerd zouden kunnen zijn, moeten we eerst twee dingen bepalen.

Als eerste moeten we zeggen met hoeveel procent betrouwbaarheid we willen werken. In de statistiek is nooit iets 100% betrouwbaar, meestal wordt er van 95% of 99% betrouwbaarheid uitgegaan. Laten we in dit geval de laatste nemen.

Vrijheidsgraden

Om de chi-kwadraat toets te gebruiken, moeten we verder het aantal vrijheidsgraden bepalen. Het aantal vrijheidsgraden is niets anders dan het aantal mogelijke uitkomsten min één.

In dit geval is dat dus 5 (er zijn 6 verschillende uitkomsten van de dobbelsteen. Maar als je weet hoe vaak de eerste vijf zijn voorgekomen en je weet het totaal aantal, dan ligt het aantal voor de zesde uitkomst vast, vandaar dat het aantal vrijheidsgraden één minder is).

Nu we deze twee weten, kunnen we in een tabel de kritieke waarde opzoeken. De kritieke waarde is de waarde waarboven we de uitkomsten als niet toevallig beschouwen.

Afwijking

Bij een 99% betrouwbaarheidsniveau hoort een p-waarde van 0.01. Kijken we in de tabel bij p=0.01 en 5 vrijheidsgraden (de linker kolom), dan vinden we een waarde van 15,0863. Dit betekent dat er 1% kans is dat een afwijking groter dan 15,0863 wordt gegenereerd door een eerlijke dobbelsteen.

Als we een waarde vinden die nog groter is, dan beschouwen we de kans daarop met een eerlijke dobbelsteen te klein, en nemen we aan dat de dobbelsteen niet eerlijk was.

Vinden we een afwijking die kleiner is, dan accepteren we dat de gevonden uitkomsten heel goed door een eerlijke dobbelsteen gegenereerd zouden kunnen worden.

Het enige wat ons nog rest, is de afwijking van het gemiddelde vinden. Hiervoor gebruiken we de volgende formule:

som( (O-E)^2/E)

We trekken de verwachte uitkomst af van de gevonden uitkomst (O-E), dit kwadrateren we (^2) en vervolgens delen we dit resultaat door de verwachte uitkomst(/E). We doen dit voor alle mogelijke uitkomsten en die tellen we allemaal bij elkaar op (som). Dit geeft ons dan de chi-kwadraat waarde.

In ons voorbeeld hebben we 54 keer gegooid, dus we verwachten elke uitkomst 9 keer. Vullen we dit in de formule in, dan krijgen we:

(10-9)^2/9 + (8-9)^2/9 + (17-9)^2/9 + (5-9)^2/9 + (8-9)^2/9 + (6-9)^2/9 = 10,222

Onze waarde ligt ruim onder de kritieke waarde 15,0863, dus de gevonden uitkomsten kunnen zeer wel gegenereerd zijn door een eerlijke dobbelsteen.

Randomness in roulette

In een volgend artikel zullen we de chi-kwadraat test gebruiken om een serie van uitkomsten van roulette te analyseren. Het spel waar altijd eeuwige discussie over is of het nu wel of niet random is en waar mensen vaak het 'gevoel' hebben dat er iets niet klopt.

We hebben nu het gereedschap waarmee we met grote zekerheid kunnen zeggen of hun gevoel gelijk heeft en er inderdaad iets niet klopt, of dat hun gevoel ze onzin vertelt.

Veelgestelde vragen over randomness

Wat is een Random Number Generator?

Een RNG is een apparaat dat volstrekt onwillekeurig onvoorspelbare getallen eruit gooit. En vaak gebruikt wordt in gokkasten.

Waarom zien mensen verbanden tussen getallen?

Mensen kunnen niet aan randomness doen, ze zullen altijd verbanden zien en toevalligheden verklaren in nummers. Daar maken casino's flink gebruik van zoals de laatst gevallen roulette nummers laten zien op een speciaal bord. het is totale onzin maar de meeste spelers halen er toch hun geloof en strategie uit.

Wat betekent randomness?

Het Nederlandse woordenboek zegt willekeurigheid en dat is precies wat het ook is.