Is roulette eerlijk en hoe kom je daar achter?

Hoe bereken je of uitkomsten van de roulette eerlijk gegenereerd zijn?

In het kort komt het hier op neer: je vergelijkt je verkregen uitkomsten met de verwachte uitkomsten. Hier komt een bepaalde waarde uit, die een soort van afwijking met het gemiddelde aangeeft. Is de kans op een dergelijke of grotere afwijking kleiner dan een vooraf bepaalde waarde, dan stellen we dat de gevonden uitkomsten zeer waarschijnlijk niet door het toeval zijn gegenereerd. Een uitgebreidere uitleg met een simpel voorbeeld vind je in het artikel 'Hoe test je op randomness?'.

Dit is allemaal nog redelijk vaag, dus laten we een voorbeeld uitwerken. Ik gebruik hier 1362 spins die ik heb waargenomen in een online casino. Ik had hier al het vermoeden dat die uitkomsten niet volledig door het toeval waren gegenereerd. Uiteraard gaan we van het positieve uit tot het tegendeel is bewezen. Onze aanname, ook wel nulhypothese (H₀) genaamd, is dus dat de roulette eerlijk is. Dat wil zeggen, elk nummer heeft een even grote kans om te vallen. We willen dit graag controleren met een betrouwbaarheidsniveau van 1 procent. Het aantal keer dat elk nummer gevallen was, staat in onderstaande tabel.

Zoals je ziet komen de nummers 5, 8, 10, 11, 23, 24 en 30 aanzienlijk minder vaak voor dan de andere nummers. Dit zijn nummers die allemaal naast elkaar liggen en zijn ook de nummers waar ik zelf op inzette. Maar komen ze ook minder vaak voor dan je zou mogen verwachten van een eerlijke roulette?

Chi-square test

We gaan hier nu de zogenaamde chi-square waarde van berekenen. Hiervoor berekenen we van elk nummer het verschil tussen de gevonden waarde en de verwachte waarde. Deze uitkomst kwadrateren we en vervolgens delen we het door de verwachte waarde. De uitkomsten van alle 37 nummers tellen we bij elkaar op en dit geeft ons de chi-square waarde. Ligt deze waarde boven de zogenaamde kritieke waarde dan kunnen we met grote zekerheid zeggen dat onze uitkomsten niet door het toeval tot stand zijn gekomen. De uitkomsten zie je in onderstaande tabel.

Kritieke waarde

Om de kritieke waarde te bepalen, moeten we twee dingen weten. Als eerste het betrouwbaarheidsniveau. Vooraf hebben we gezegd dat we dat op 1 procent zetten. We hadden ook 5 procent kunnen nemen. Dan zul je eerder op uitkomsten komen die niet voldoen aan onze nulhypothese, maar is de kans ook groter dat je de nulhypothese ten onrechte verwerpt.

Als tweede moeten we het aantal vrijheidsgraden weten. Roulette heeft 37 verschillende nummers. We weten echter dat we in ons geval 1362 spins hebben genoteerd. Zo gauw we dus van 36 nummers weten hoe vaak die gevallen zijn, weten we ook hoe vaak het 37e nummer is gevallen. Daarom zijn er in dit geval 36 vrijheidsgraden.

Via excel kunnen we nu eenvoudig de kritieke waarde bepalen door de twee bovenstaande variabelen in te vullen in de functie: CHI.KWADRAAT.INV(0,01;36)

Hieruit komt een kritieke waarde van 58,62. Dit betekent dat de kans dat we puur door toeval uitkomsten krijgen die deze waarde of hoger als chi-kwadraat waarde hebben minder dan 1 procent is. In dat geval vinden we het dus ongeloofwaardig dat onze uitkomsten door een eerlijke roulette tot stand zijn gekomen. We verwerpen dan onze nulhypothese. Krijgen we echter een waarde lager dan 58,62 dan vinden we het aannemelijk dat onze uitkomsten voortkomen uit een eerlijke roulette. We beschouwen de nulhypothese dan als waar.

Is deze roulette eerlijk?

In ons voorbeeld komen we op een chi-kwadraat waarde van 176,62. Dit ligt ver boven de kritieke waarde en dus verwerpen we de hypothese dat deze uitkomsten door een eerlijke roulette tot stand zijn gekomen. Deze uitkomst ligt zelfs zo erg bij de verwachte uitkomst vandaan, dat we zelfs bij een betrouwbaarheidsniveau van 0,0001 procent de nulhypothese hadden verworpen (kritieke waarde 92,32,nog lager kon excel niet aan).

We kunnen nog wel enige vraagtekens zetten bij de grootte van de steekproef. Over het algemeen wordt gesteld dat elke mogelijkheid minimaal vijf keer verwacht moet worden om een redelijk resultaat met de chi-kwadraat toets te bereiken. In dit geval is daar ruimschoots aan voldoen, elk nummer zou gemiddeld bijna 37 keer voor moeten komen. Dit stamt echter nog uit de tijd van weinig rekenkracht. Tegenwoordig kunnen computers veel meer aan en is het dus makkelijker om ook bij grote steekproeven berekeningen te maken. Uiteindelijk blijft gelden: hoe groter de steekproef, hoe betrouwbaarder de uitkokmst van de chi-kwadraat toets.

In het geval van bovenstaand voorbeeld wijken de gevonden resultaten zo sterk af van de verwachte resultaten, dat we zeer stellig kunnen beweren dat deze roulette niet eerlijk is.

Ben je benieuwd of de roulette in jouw casino eerlijk is, noteer dan een tijdlang de uitkomsten en analyseer ze volgens bovenstaande methode. Je mag de uitkomsten natuurlijk ook delen op het forum in het topic 'Automatische roulette machines gemanipuleerd', dan laten wij de berekeningen er op los.